sábado, 4 de junio de 2011

Problemas

1.- Hallar a qué velocidad hay que realizar un tiro parabólico para que llegue a una altura máxima de 100 m si el ángulo de tiro es de 30º.

Se trata de un tiro parabólico simple en el que el cuerpo se lanza desde el suelo y vuelve de nuevo a él. Las fórmulas en este caso son:

(1)

Nos dicen que la altura máxima ha de ser 100 m y el ángulo de 30º, sustituyendo entonces en la fórmula de la altura máxima y despejando la velocidad inicial

2.- Hallar a qué ángulo hay que realizar un tiro parabólico para que el alcance y la altura máxima sean iguales.

La altura máxima y el alcance han de valer exactamente lo mismo. Así pues igualando la fórmula del alcance (X) con la altura máxima (Hmax) en las ecuaciones 1 se tiene

En la ecuación se cancelan las aceleraciones de la gravedad y las velocidades iniciales, por lo que el resultado al que vamos a llegar es independiente de la velocidad a la que se realiza el lanzamiento. Resulta pues la siguiente ecuación trigonométrica

Haciendo la sustitución trigonométrica del ángulo doble

nos queda

Como buscamos ángulos diferentes de cero, α≠ 0, tendremos también que sinα≠0 por lo tanto podemos cancelar un factor sinα en cada miembro de la ecuación 2, que nos quedará

3.- Un arquero quiere efectuar un tiro parabólico entre dos acantilados tal y como indica la figura. El acantilado de la izquierda se halla 4 m por arriba con respecto al de la derecha. Si el arquero sólo puede disparar con un ángulo de 30º y quiere lanzar las flechas a 5 m del acantilado de la derecha, calcula con qué velocidad mínima ha de lanzarlas. Calcula el tiempo de vuelo.

Se trata de un tiro parabólico, pero a diferencia de los anteriores el punto inicial y final no están a la misma altura con respecto al suelo por lo que las fórmulas 1 ya no son aplicables ahora. Hemos de plantearlo con las más generales que se deducen a partir de

Especificando para cada una de las componentes tenemos
(3)
(4)

Resulta más fácil resolver el último sistema de ecuaciones despejando v0 de la ecuación 3 y sustituyendo en la ecuación 4. Calcularemos así el tiempo, pues resulta más fácil de resolver la ecuación que sale. Sustituyendo luego este tiempo en la ecuación 3 determinamos la velocidad. De la figura se ve que el alcance total del tiro parabólico es de 25+5=30m. De la ecuación 3 tenemos pues según lo dicho

Como la flecha impacta en el suelo la altura final es cero, y la ecuación 4 nos queda

el valor de t que se obtiene de esta última ecuación es


y con la ecuación 3 calculamos la velocidad inicial

El problema se podría haber resuelto directamente despejando directamente t en función de v0 lo que ocurre es que la ecuación resultante es algo más tediosa de manipular.


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